今回は２つの異なる荷重が片持ちはりに作用したら、いったいどのような力の伝わり方や変形が生じるのか、SFD図とBMD図はどのように作図していけば良いのか、その詳しい内容をご紹介します。
(等分布荷重と集中荷重を受ける両端支持はりのSFD図とBMD図の描き方はコチラ↓)
たとえば等分布荷重は、はり全体にわたって均等に作用するため、各断面にかかるせん断力や曲げモーメントは広範囲に分布します。(下記記事参照)
一方、集中荷重は一点または限定された小範囲に集中的に作用するため、その作用点付近で局所的に大きな応力や変形が生じやすくなります。片持ちはりの場合、固定端に近づくにつれて荷重が蓄積する形で作用し、最終的に固定端に大きな反力と曲げモーメントが集中するという特徴があります。(下記記事参照)
では、同じ片持ちはりに複数の荷重が組み合わさった場合はどうなるでしょうか？
今回はこの内容について詳しく解説していきたいと思います。
S.F.D図（せん断力図）やB.M.D図（曲げモーメント図）は、荷重伝達を視覚的に把握するのに大切なツールです。これらの図を正しく描くためには、まず荷重がどの位置に、どのように作用しているかを正確に理解しておく必要があります。
そして、こうした基礎をしっかりと身につけることは、材料力学を学ぶうえで非常に大切で、今回ご紹介する内容を理解しておけば、ほかのはり問題を解く際にもに応用できるでしょう。
それでは早速、２つの異なる荷重が片持ちはりに作用したらどのようになるのか、その詳細を見ていきましょう。
等分布荷重と集中荷重を受ける片持ちはりの問題の解き方
今回はこのような1N/mmの等分布荷重と300Nの集中荷重を受けている状態のはりを想定して、計算していこうと思います。
今回のような複数の異なる荷重が同時に作用するケースでは、それぞれの荷重に対応した梁をイメージして「集中荷重がかかる場合の梁」と「等分布荷重がかかる場合の梁」に分けて考えていきます。
まずは両者を個別に計算し、各梁における支点反力やせん断力、曲げモーメントを求めます。
その後、各計算結果を合算することによって、最終的なせん断力図（S.F.D図）や曲げモーメント図（B.M.D図）を作成するという流れになります。
こうやって計算することで、異なる種類の荷重が同時に作用した場合でも、荷重の影響をわかりやすく整理しながら正確に計算できます。
等分布荷重を受ける片持ちはり
ここでは、等分布荷重を受けるはりとして算出したすべての値を添え字の1として表していきます。
等分布荷重を受ける片持ちはりとしてみた場合、このような図になるかと思います。
はりの一部分に等分布荷重が発生する場合の計算方法につきましては、下記の記事で詳しくまとめています。
支点反力の計算
支点反力RB1の計算
等分布荷重w、長さ$l_{1}$による全荷重を始点Bで受けているので、
$$R_{B1}=wl_{1}$$
$$=1×300$$
$$=300N$$
となります。
支点反力RA1の計算
支点反力RA1は自由端になっているため、
$$R_{A1}=0$$
となります。
せん断力の計算
自由端Aから固定端Bに向かって仮想断面「x-x’」を仮想的に移動させてせん断力を考えていきます。
AC間のせん断力（0 ≤ x ≤ l₁）
AC間のせん断力の一般式は、
$$F=-wx$$
となり、この式を用いてそれぞれのせん断力を求めます。
$$点Aのせん断力F_{A1}=-wx$$
$$=-1×0$$
$$=0N$$
$$点Cのせん断力F_{C1}=-wx$$
$$=-1×300$$
$$=-300N$$
となります。
CB間のせん断力（l₁ ≤ x ≤ l）
CB間に発生するせん断力$F_{CB}$では外力に変化がないため、等分布荷重の全荷重と等しくなります。
$$せん断力F_{CB1}=-wl_{1}$$
$$=-1×300$$
$$=-300N$$
曲げモーメントの計算
せん断力と同様に、等分布荷重を受けているAC間と、荷重変化のないCB間にそれぞれ分けて曲げモーメントを考えます。
AC間の曲げモーメント（0 ≤ x ≤ l1）
片持ちはりに等分布荷重が作用している場合、AC間の曲げモーメントの一般式は、
$$M=-\frac{wx^2}{2}$$
となり、この式を用いてそれぞれの曲げモーメントを考えると、
$$点Aの曲げモーメントM_{A1}=-\frac{wx^2}{2}$$
$$=-\frac{1×0^2}{2}$$
$$=0Nmm$$
$$点Cの曲げモーメントM_{C1}=-\frac{wx^2}{2}$$
$$=-\frac{1×300^2}{2}$$
$$=-45000$$
$$=-4.50×10^4Nmm$$
となります。
CB間の曲げモーメント（l₁ ≤ x ≤ l）
片持ちはりに等分布荷重が作用している場合、CB間の曲げモーメントの一般式は、
$$M_{CB}=-wl_{1}(x-\frac{l_{1}}{2})$$
となり、この式を用いてそれぞれの箇所の曲げモーメントを計算します。
CB間の曲げモーメントは、
$$点Cの曲げモーメントM_{C1}=-wl_{1}(x-\frac{l_{1}}{2})$$
$$=-1×300(300-\frac{300}{2})$$
$$=-45000$$
$$=-4.50×10^4Nmm$$
$$点Bの曲げモーメントM_{B1}=-wl_{1}(x-\frac{l_{1}}{2})$$
$$=-1×300(1000-\frac{300}{2})$$
$$=-255000$$
$$=-25.50×10^4Nmm$$
となります。
S.F.D.図とB.M.D図の作成
以上の計算結果をグラフとしてまとめると、このようになります。
集中荷重を受ける片持ちはり
ここでは、集中荷重を受けるはりとして算出したすべての値を添え字の2として表していきます。
集中荷重を受ける片持ちはりとしてみた場合、このような図になるかと思います。
片持ちはりに集中荷重が発生する場合の計算方法につきましては、下記の記事で詳しくまとめています。
支点反力の計算
支点反力RB2の計算
固定端ですべての荷重を支えているため、荷重の総和がそのまま支点反力になります。よって、
$$支点反力R_{B2}＝400N$$
となります。
支点反力RA2の計算
一方、支点反力RA2は自由端となっているため、反力は発生しないので、
$$R_{A2}=0$$
となります。
せん断力の計算
今回の片持ちはりの場合、せん断力はDB間のみ影響するので、
$$F_{DB2}=-w$$
$$=-400N$$
となります。
曲げモーメントの計算
次は曲げモーメントについてです。
曲げモーメントについても同様に、D～B間の範囲のみ影響します。
よって仮想断面もDB間のみ動かすこととし、1000-800≦x≦1000の間で曲げモーメントを考えます。
DB間の曲げモーメントの一般式は、
$$M_{DB2}=Fx$$
$$=-400x$$
となり、この一般式を用いて、それぞれの曲げモーメントを計算していきます。
点Dの曲げモーメント
点Dの曲げモーメントは、
$$点Dの曲げモーメントM_{D2}=Fx$$
$$=-400×0$$
$$=0$$
となります。
ポイント
x=0なのは、ここを曲げモーメントの中心とおいて考えているためです。
点Bの曲げモーメント
点Bの曲げモーメントは、
$$点Bの曲げモーメントM_{B2}=Fx$$
$$=-400×200$$
$$=-80000Nmm$$
$$=-8.00×10^4Nmm$$
となります。
S.F.D.図とB.M.D図の作成
以上の計算結果をグラフとしてまとめると、このようになります。
２つのS.F.D.図とB.M.D図を合体する
等分布荷重と集中荷重に分けて計算した数値を、ここからは合算してS.F.D.図とB.M.D図を作成していきます。
支点反力の合成
等分布荷重が発生している場合の反力RA1とRB1、集中荷重が発生している場合の反力RA2とRB2を合成していきます。
支点反力RBの計算
$$R_{B}=R_{B1}+R_{B2}$$
$$=300+400$$
$$=700N$$
支点反力RAの計算
$$R_{A}=R_{A1}+R_{A2}$$
$$=0+0$$
$$=0N$$
せん断力の合成
次に、各区間のせん断力も合成していきます。
先ほど求めた2つのS.F.D.図を並べるとこのようになります。
上の図を参考に、それぞれの区間のせん断力を求めていきます。
AC間のせん断力
$$F_{A}=F_{A1}+F_{A2}$$
$$=0+0$$
$$=0N$$
$$F_{C}=F_{C1}+F_{C2}$$
$$=-300+0$$
$$=-300N$$
CD間のせん断力
CD区間では荷重が一定となり、
$$F_{CD}=F_{CD1}+F_{CD2}$$
$$=-300+0$$
$$=-300N$$
となります。
DB間のせん断力
$$F_{DB}=F_{DB1}+F_{DB2}$$
$$=-300+-400$$
$$=-700N$$
合成したS.F.D.図
曲げモーメントの合成
集中荷重が発生している場合の曲げモーメントと、等分布荷重が発生している場合の曲げモーメントを合成していきます。
先ほど求めた2つのB.M.D.図を並べるとこのようになります。
上の図を参考に、それぞれの区間の曲げモーメントを求めていきます。
点Cの曲げモーメント
$$M_{C}=M_{C1}+F_{C2}$$
$$=-4.50+0$$
$$=-4.50Nmm$$
点Dの曲げモーメント
$$M_{D}=M_{D1}+F_{D2}$$
$$=0+(-wl_{1}(x-\frac{l_{1}}{2}))$$
ここで、集中荷重が作用している距離xは800mm($l2$)なので、この数値を代入すると、
$$=0+(-wl_{1}(x-\frac{l_{1}}{2}))$$
$$=0+(-1×300(800-\frac{300}{2}))$$
$$=-195000$$
$$=-19.50×10^4Nmm$$
となります。
点Bの曲げモーメント
$$M_{B}=M_{B1}+F_{B2}$$
$$=-25.50×10^4+-8.00×10^4$$
$$=-33.50×10^4Nmm$$
合成したB.M.D.図
等分布荷重と集中荷重を受ける片持ちはりのSFD図とBMD図
最後に、今回取り扱った問題の支点反力とS.F.D図、B.M.D図をまとめるとこのようになります。
以上、これですべての計算が終わりました。
まとめ
今回は、等分布荷重と集中荷重を同時に受ける片持ちはりのS.F.D図（せん断力図）およびB.M.D図（曲げモーメント図）の描き方について解説してきました。
片持ちはりならではのポイントとして、はりの自由端から固定端に進むにつれて徐々に力が加算されていき、最終的には固定端で大きな反力と曲げモーメントを負担することが今回の図示から分かるかと思います。
特に、等分布荷重が作用している部分はせん断力や曲げモーメントが連続的に変化し、集中荷重が作用する位置では局所的に急激な変化が生じる点が重要です。こうした荷重の伝達を正しく理解し、区間ごとに正確な平衡条件を用いて図示することで、S.F.D図とB.M.D図を正しく描くことができます。
また、せん断力図・曲げモーメント図を描くプロセスでは、固定端の反力やモーメントの求め方、作用点や等分布荷重の分布幅による影響など、材料力学の基礎となる考え方を何度も確認することが重要です。正しい作図手順や区間設定が把握できていれば、複数の荷重が組み合わさった場合でもスムーズに内力を計算できるようになり、応力集中が起きやすい箇所や、必要な補強の検討箇所なども的確に頭の中でイメージできるようになります。
このように、複数荷重の同時作用を扱った問題では、はりの挙動を「いかに視覚的にとらえ、正確に数値化するか」がカギになります。本記事を参考にS.F.D図やB.M.D図の作図手順を学び、片持ちはり特有の荷重伝達メカニズムをしっかり身につけることで、実務や試験問題などの場面で役に立つと思います。
是非、今回の内容を繰り返し復習しながら、片持ちはりに限らずさまざまなはり問題へ応用してみてください。