はりに作用する外力は、はりに力のモーメントを与えます。
ここでは、反作用としてはりの内部に発生する曲げモーメントについて詳しく記載していこうと思います。
せん断力図(S.F.D図)についての解説はこちら↓
この記事を参考にはりの問題に取り掛かれば、どのようにモーメントが発生するのかイメージしやすくなり、計算問題に対して抵抗が少なくなります。
モーメントの考え方について詳しくしりたい方は、ぜひ最後までご覧ください。
集中荷重を受ける両端支持はりの例
ここでは、図のような両端支持はりに集中荷重が１つ作用している場合を考えていきます。
曲げモーメントを求める前に、まず最初に作業が仮想断面の設定です。
仮想断面とは、部材などを解析するとき実際に切断するわけではなく、「もしここで切断（スパッと切り口を入れる）したと仮定したらどうなるか」を考えるために設定する想像上の切断面のことです。
ここでは、図のような両端支持はりの支点Aから距離xにある仮想断面x-x’を、支点Bに向けて移動させます。
荷重をW、支点Aから荷重点までの距離を$l_{1}$、スパン長を$l$とおき、そこに仮想断面x-x’の点Pを設置します。
そして、点Pを中心とした力のモーメントをのつり合いを考えていきます。
曲げモーメントを求める
それでは本題の曲げモーメントを求めていきます。
AC間の曲げモーメントであるMACと、CB間の曲げモーメントであるMCBをそれぞれ求めます。
ここで、力のモーメントの符号は反時計回りのモーメントを「＋」、時計回りのモーメントを「－」と置きます。
AC間の曲げモーメント（$0≦x≦l_{1}$）
AC間の曲げモーメントM_{AC}は、次のように求めます。
先ほど、力のモーメントの符号は反時計回りのモーメントを「＋」、時計回りのモーメントを「－」と置いたので、下図のx-x’の左側部材で点Pを中心としたモーメントは、
$$-R_{A}x+M_{AC}=0$$
$$+M_{AC}=R_{A}x ・・・(1)$$
一方で、x-x’の右側部材で点Pを中心としたモーメントは、
$$-W(l_{1}-x)+R_{B}(l-x)+M_{AC}=0$$
$$-Wl_{1}-Wx+R_{B}l-R_{B}x+M_{AC}=0$$
$$x(W-R_{B})-(Wl_{1}-R_{B}l)+M_{AC}=0 ・・・(2)$$
ここで、力とモーメントそれぞれの力のつり合い条件を考えます。
力の総和はゼロという条件より、
$$W-R_{A}-R_{B}=0$$
$$R_{A}=W-R_{B} ・・・(3)$$
もう一つ、モーメントの総和はゼロという条件より、
$$Wl_{1}-R_{B}l=0 ・・・(4)$$
式(3)、(4)を式(2)へ代入します。すると、
$$x(W-R_{B})-(Wl_{1}-R_{B}l)+M_{AC}=0$$
$$x(R_{A})-0+M_{AC}=0$$
$$R_{A}x+M_{AC}=0$$
$$-M_{AC}=R_{A}x ・・・(5)$$
となり、式(1)と式(5)から、MACの大きさは、
$$M_{AC}=R_{A}x ・・・(6)$$
であることがわかります。
CB間の曲げモーメント（$l_{1}≦x≦l$）
今度は、集中荷重が作用している点Cから支点BまでのCB間の曲げモーメントを求めます。
CB間の曲げモーメントM_{AC}は、次のように求めます。
力のモーメントの符号は、同じく反時計回りのモーメントを「＋」、時計回りのモーメントを「－」と置きます。下図のx-x’の左側部材で点Pを中心としたモーメントは、
$$+W(x-l_{1})-R_{A}x+M_{CB}=0$$
$$+Wx-Wl_{1}-R_{A}x+M_{CB}=0$$
$$x(W-R_{A})-Wl_{1}+M_{CB}=0 ・・・(7)$$
そしてこちらも同様に、力とモーメントそれぞれの力のつり合い条件を考えます。
力の総和はゼロという条件より、
$$W-R_{A}-R_{B}=0$$
$$R_{B}=W-R_{A} ・・・(8)$$
モーメントの総和はゼロという条件より、
$$-Wl_{1}+R_{B}l=0$$
$$R_{B}l=Wl_{1} ・・・(9)$$
式(8)、(9)を式(7)へ代入します。すると、
$$x(W-R_{A})-Wl_{1}+M_{CB}=0$$
$$R_{B}x-R_{B}l+M_{CB}=0$$
$$M_{CB}=R_{B}l-R_{B}x$$
$$M_{CB}=R_{B}(l-x) ・・・(10)$$
一方で、x-x’の右側部材で点Pを中心としたモーメントは、
$$+R_{B}(l-x)+M_{CB}=0$$
$$-M_{CB}=R_{B}(l-x) ・・・(11)$$
となり、式(10)と式(11)から、MACの大きさは、
$$M_{CB}=R_{B}(l-x) ・・・(12)$$
であることがわかります。
曲げモーメントの符号の決め方
曲げモーメントの符号の決め方については、せん断力の符号と同様に考えるとわかりやすいです。
まず最初に、仮想断面を基準に右向きの方向を正とした座標軸を考えます。このとき、「x-x’断面」の右側を「＋」、左側は「－」と置きます。
先ほどの図と計算、そして今回の集中荷重を受ける両端支持はりという条件から、今回のはりの挙動は下に凸になる力のかかり方になっています。
曲げモーメントの力の方向は、先ほどの計算からAC間、CB間どちらも一緒になっています。
これは、仮想断面で切った点を基準にどちらも、
左側：－M(AC,CB)
右側：＋M(AC,CB)
と符号が一緒になっているからです。
ここで、「仮想断面を基準に右向きの方向を正とした座標軸(左方向は－)」と設定したので、左方向の－と仮想断面左側の－M(AC,CB)を掛け合わせてみます。すると、
$$-(-M_{AC,CB})$$
$$=+M_{AC,CB}$$
となります。
ここの考え方は、せん断力の符号の決め方と同じになります。
このことから、仮想断面x-x’の右側のモーメントを「＋」、左側を「－」として、はりが下に凸になる力のかかり方をいしている場合を「正」、反対に上に凸になる力のかかり方をいしている場合を「負」と考えます。(今回の内容では曲げモーメントは負にならない)。
まとめ
今回は、はりに外力が発生したときどのように曲げモーメントが作用するのか、その基本的な考え方を解説しました。
曲げモーメントを求める際には、以下のポイントが重要でしたね。
✅ 力のつり合いとモーメントのつり合いを利用する（力の総和＝0、モーメントの総和＝0）
✅ モーメントの符号ルールを統一する（反時計回りを「＋」、時計回りを「－」）
✅ 区間ごとに考えて、それぞれの曲げモーメントを求める
これらを押さえておけば、どんなはりの問題でも曲げモーメントをすんなり求められるようになります。
ほかの記事でもいろいろなはり問題を解説するので、今回の内容をおさえてぜひチェックしてみてください。